1.1.2 间章：基本分析技巧

\[ \rm{Define\ \LaTeX \ Macros\ Here} \newcommand\ag[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand\ul[1]{\underline{#1}} \newcommand\stirA[2]{\begin{bmatrix}#1\\ #2\end{bmatrix}} \newcommand\stirB[2]{\begin{Bmatrix}#1\\ #2\end{Bmatrix}} \newcommand\ul[1]{\underline{#1}} \newcommand\ol[1]{\overline{#1}} \newcommand\dis{\operatorname{dis}} \newcommand\edp{\operatorname{edp}} \newcommand\deg{\operatorname{deg}} \newcommand\pcnt{\operatorname{popcount}} \]

本节内容存在的目的大概就是简单提一下这几个东西的存在，然后应用在下一节。

拉格朗日反演

由于证明并没有那么重要我不会，所以以下会略过相关的证明。

下面讨论的不再是形式幂级数，而是形式 \(\text{Laurent}\) 级数。

定义：

一个最低次项为 \(n_0\) 的形式 \(\text{Laurent}\) 级数 \(A(x)\) 被定义为

\[ A(x)=\sum_{i=n_0}^{+\infty}a_ix^i \]

相关的性质可以参考¹。

两个形式 \(\text{Laurent}\) 级数 \(F\) 复合 \(G\) 的结果 \(H\) 为：

\[ H(x)=\sum_{k=n_0}^{+\infty}f_kG^k(x) \]

显然，当 \(F(x)\) 项数有限或 \(G(0)=0\) 时复合才良定义，否则会导致 \(0\) 次项系数发散。

对于两个形式 \(\text{Laurent}\) 级数，若 \(F(G(x))=x\)，则称 \(G\) 为 \(F\) 的复合逆，记作 \(G(x)=F^{\ag{1}}(x)\)。

由于形式 \(\text{Laurent}\) 在复合意义下构成群，所以若 \(G\) 为 \(F\) 的复合逆，\(G\) 也是 \(F\) 的复合逆。

定理 1. 拉格朗日反演：

对于形式 \(\text{Laurent}\) 级数 \(F(x)\)，若 \(n_0=1\)，设 \(G(x)\) 为 \(F(x)\) 的复合逆，则 \(\forall n,k\in \mathbb Z\)

\[ \begin{aligned} n[x^n]F^k(x)=k[x^{-k}]G^{-n}(x) \end{aligned} \nonumber \]

这条式子的线性组合可以导出下面的扩展拉格朗日反演。

定理 2. 扩展拉格朗日反演：

对于一个给定的形式 \(\text{Laurent}\) 级数 \(P(x)\)，若 \(F,G\) 满足的条件同上，则

\[ [x^n]P(F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]P'\qty(\frac{x}{G(x)})^n \]

对于一些特殊的情况，上面的公式可能并不够用，从而引出了如下的结果。

定理 3. 另类拉格朗日反演（by EI)：

若 \(F,G\) 满足的条件同定理 1，则 \(\forall n,k\in \mathbb Z\)，有

\[ [x^n]F^k(x)=[x^{-k-1}]G'(x)\qty(\frac{1}{G(x)})^{n+1} \]

同样，这式也有一个扩展形式

定理 4. 扩展另类拉格朗日反演 (by EI):

若 \(P,F,G\) 满足的条件同定理 2，则有

\[ [x^n]P(F(x))=[x^n]P(x)G'(x)\qty(\frac{x}{G(x)})^{n+1} \]

ODE

---

1. 浅谈多项式与生成函数 - joke3579 ↩