1.1.4 组合符号化方法(下)

わたし　わたし　わたしはここにいる

孤独的 孤独的 孤独的我就存在于此啊

殴り書きみたいな音　出せない状態で

叫んだよ好似杂乱无章的音律 不成声地呐喊着

\[ \rm{Define\ \LaTeX \ Macros\ Here} \newcommand\ag[1]{\left\langle#1\right\rangle} \newcommand\ul[1]{\underline{#1}} \newcommand\stirA[2]{\begin{bmatrix}#1\\ #2\end{bmatrix}} \newcommand\stirB[2]{\begin{Bmatrix}#1\\ #2\end{Bmatrix}} \newcommand\ul[1]{\underline{#1}} \newcommand\ol[1]{\overline{#1}} \newcommand\dis{\operatorname{dis}} \newcommand\edp{\operatorname{edp}} \newcommand\deg{\operatorname{deg}} \newcommand\pcnt{\operatorname{popcount}} \]

EGF

序列 \(\ag{a_0,a_1,a_2,\cdots}\) 的 EGF 是

\[ \sum_{i=0}^{+\infty}\frac{a_i}{i!}x^i \]

即序列 \(\ag{\frac{a_0}{1},\frac{a_1}{1},\frac{a_2}{2},\frac{a_3}{6},\frac{a_4}{24},\cdots }\) 的 OGF，也就是，在第 \(i\) 项额外除去一个 \(i!\)，常用于有标号计数体系之中。

注意序列 \(\ag{1,1,1,\cdots, 1}\) 的 EGF 为 \(\exp(x)\)，这也是其 EGF 之名的由来。同样，我们立即能导出一批 EGF 的封闭形式：

\[ \begin{array}{ccc} 数列 &\text{EGF} &封闭形式\\ \ag{1,1,1,\cdots} &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}x^k &\exp(x)\\ \ag{1,c,c^2,c^3,\cdots} &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{c^k}{k!}x^k &\exp(cx)\\ \ag{1,0,1,0,1,0\cdots} &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k)!}x^{2k} &\dfrac{\exp(x)+\exp(-x)}{2}=\cosh x\\ \ag{0,1,0,1,0,1\cdots} &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{(2k+1)!}x^{2k+1}&\dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}=\sinh x\\ \ag{1,-1,1,-1,1,-1,\cdots} &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{1}{k!}(-x)^{k} &\exp(-x)\\ \ag{1,a^{\ul{1}},a^\ul{2},a^\ul{3},a^\ul4,\cdots } &\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{a^\ul k}{k!}x^{k} &(1+x)^a\\ \end{array} \]